Question

已知函数f（x）=ax²+3ax+1如f（x）＞f′（x）对x∈r成立则a的取值范围?？

Answer 1

f（x）=ax²+3ax+1
f'(x)=2ax+3a
（x）＞f′（x）恒成立
ax²+3ax+1>2ax+3a
ax²+ax+1-3a>0
恒成立
所以
a>0
判别式△=a²-4a(1-3a),2,f'(x)=2ax+3a.
f(x)-f'(x)=ax^2+ax+(1-3a)>0对x属于R恒成立,即ax^2+ax+(1-3a)=0无实根。
所以delta=a^2-4a(1-3a)<0， a(13a-4)<0, 所以0 2,
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f(x)=ax^2+3ax+1 f'(x)=2ax+3a
f(x)>f'(x) 即
ax^2+3ax+1>2ax+3a
ax^2+ax+1-3a>0 x∈r成立
所以 当a=0时 1>0恒成立
a>0 判别式 a^2-4a(1-3a)<0
a^2+12a^2-4a<0
13a^2-4a<0
a(13a-4)<0
0 综合 0≤a<4/13 f（x）＞f′（x）对x∈r成立 1,
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f(x)>f'(x) ,即 ax^2+3ax+1>2ax+3a, 即ax^2+ax+1-3a>0
a=0时满足，a不是零时，是抛物线，开口要向上，则a>0,
同时△<0才行
故a∈[0，13/4） 0,
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f′(x)=2ax+3a
令g(x)=f(x)-f'(x)=ax²+ax+1-3a>0
当a=0时，g(x)=1>0恒成立
当a>0时，a²-4a(1-3a)=13a²-4a<0
解得0 当a<0时，g(x)的函数图象的开口向下，总有x∈r可以使得g(x)<0
所以a的取值范围为[0,4/13) 0,