Question

反正弦函数平方arcsinx＾2的泰勒级数展开式怎么证明？

Answer 1

要证明反正弦函数平方的泰勒级数展开式，需要使用泰勒级数定理和求导公式。具体步骤如下：
首先，根据泰勒级数定理，可以得到反正弦函数在 $x=0$ 处的泰勒级数：
$$\arcsin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1) n!} x^{2n+1}$$
然后，对上式两边平方，得到：
$$\arcsin^2 x = \left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1) n!} x^{2n+1}\right)^2$$
对右侧的平方进行展开，得到：
$$\arcsin^2 x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1) n!} x^{2n+1} \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{(2m+1) m!} x^{2m+1}$$
将两个求和符号合并，得到：
$$\arcsin^2 x = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^{n+m}}{(2n+1)(2m+1) n!m!} x^{2n+2m+2}$$
由于 $n$ 和 $m$ 都是非负整数，所以 $2n+2m+2$ 也一定是偶数，因此可以将指数 $2n+2m+2$ 替换为 $2k$，即：
$$\arcsin^2 x = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} x^{2k}$$
最后，使用求导公式可以验证上式的导数等于 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，即反正弦函数的导数，从而证明了该级数的正确性。
综上所述，反正弦函数平方的泰勒级数展开式为 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} x^{2k}$。