Question

已知a>0,且a不等于1,函数f(x)=a^x+1/(a^x),g(x)=a^x-1/(a^x)

若f(2x)<9/2*g(x)对x属于[0.5,2]都恒成立，求a的取值范围

Answer 1

令t=a^(2x)+1/a^(2x)
则f(2x)=t , g(x) ^2=t-2
因为f(2x)<9/2 *g(x)对于x∈[1/2,2]恒成立,而且f(2x)>0,
故g(x)>0且f(2x) ^2<81/4 * g(x)^2 对于x∈[1/2,2]恒成立.
①g(x)＞0,即a^(2x) > 1,而2x∈[1,4],故有a>1
②f(2x) ^2<81/4 * g(x)^2即
t^2<81/4 * (t-2)
t^2-81t/4+81/2>0对于x∈[1/2,2]恒成立.
a^(2x)∈[a,a^2] , t=a^(2x)+1/a^(2x)∈[a+1/a,a^2+1/a^2].
而使得t^2-81t/4+81/2>0只需t>18或者t<9/4即可.
即a+1/a>18或者a^2+1/a^2<9/4
这个方程自己解吧...懒得算了..