Question

设x-y+1=0,求d=根号下x2+y2+6x-10y+34加上根号下x2+y2-4x-30y+229的最小值

我看过一些答案，不明白为什么d表示直线上的点到两圆心的距离？

Answer 1

√(x²+y²+6x-10y+34)=√[(x+3)²+(y-5)²]表示点P(x,y)与点A(-3,5)之间的距离|PA|，
√(x²+y²-4x-30y+229)=√[(x-2)²+(y-15)²]表示点P(x,y)与点B(2,15)之间的距离|PB|。
因为点P(x,y)满足x-y+1=0，即点P在直线x-y+1=0上，
所以问题变为在直线x-y+1=0上求一点P，使得d=|PA|+|PB|的值最小，求这个最小值。
因为A、B在直线x-y+1=0的同侧，所以先求一点(不妨点A)关于直线x-y+1=0的对称点A'(4,-2)，
再求|A'B|=√293即为所求d的最小值。

Answer 2

D=根号下X^2+Y^2+6X-10Y+34 + 根号下X^2+Y^2-4X-30Y+229=根号下((x+3)^2+(y-5)^2)+根号下((x-2)^2+(y-15)^2)
可看作在坐标系下有直线X-Y+1=0和2点A(-3,5) B(2,15)
直线上的点到2点的距离和最小
做A关于直线的对称点A1(4,-2)
而只有当直线上的点和这B,A1点共线时(用将军饮马的类似方法证明) 距离和达到最小 所以MIN=根号下293

Answer 3

根号下x2+y2+6x-10y+34=根号下[(x+3)^2+(y-3)^2] 相当于点（x，y）到点（-3,3）的距离
同理根号下x2+y2-4x-30y+229=根号下[(x-2)^2+(y-15)^2] 相当于点（x，y）到点（2,15）的距离
又x-y+1=0，所以~~~