Question

已知z1=根号3+i,|z2|=2,z1z2^2为纯虚数,求z2

Answer 1

设z2=a+bi,a,b属于R
z1z2=a根号3+b根号3i+ai+bi^2=(b根号3+2)i+(a根号3－b)
z1z2^2=(b根号3+2)^2(i^2)+(a根号3－b)^2+2(b根号3+2)i(a根号3-b)
=(3b^2+4+4b根号3)(-1)+3a^2+b^2-2ab根号3+(6ab-2b^2根号3+2a根号3-2b)i
因为是纯虚数，所以实部为0
故(3b^2+4+4b根号3)(-1)+3a^2+b^2-2ab根号3=0
-3b^2-4-4b根号3+3a^2+b^2-2ab根号3=0
a^2+b^2=4
解得a=根号2,b=－根号2或a=-根号2,b=根号2
则z2=根号2－根号2i或z2=－根号2＋根号2i

Answer 2

设z2=a+bi,则 a^2+b^2=4①
z1z2^2=(√3+i)(a^2+2abi-b^2)=√3a^2+2√3abi-√3b^2+a^2i-2ab-b^2i故有 √3(a^2-b^2)-2ab=0②
联立①②可得a,b就不解啦