Question

如图，点E在CA延长线上，DE、AB交于F，且∠BOF=∠AEF，∠B=∠C。

1）说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）∠EAF、∠BDF的平分线交于G，∠EDC=40°，求∠G

Answer 1

（1）AB // CD
证明:因为 ∠BDF=∠AEF，所以 AC // BD ( 内错角相等)
所以有 ∠BAC + ∠B =180 ° ，而 ∠B=∠C 所以 ∠BAC + ∠C =180 °
所以 AB // CD （同旁内角互补）

（2）∠G = 70 °
因为 AG 平分∠EAF ，DG 平分 ∠BDF 所以有 ∠EAF = 2 ∠GAB ，∠BDF =2∠BDG
因为 ∠EDC = 40°，所以∠EDC = ∠DFB = 40° (内错角相等)
而在 Δ BDF 中， ∠DFB+ 2∠BDG + ∠B =180 °
故 2∠BDG + ∠B =140 ° ① 又因为 ∠B = ∠EAF= 2 ∠GAB ②（内错角相等）
把 ② 代入 ① 有，2∠BDG + 2 ∠GAB =140 ° 则 ∠BDG + ∠GAB = 70 ° ③
设DG 与 AB 交于 点 M
在Δ GAM中，∠G + ∠GAB = ∠GMB （外角等于与它两不相邻的内角和）
在 Δ BDM 中， ∠B+ ∠BDG = ∠GMB 故 ∠G + ∠GAB = ∠B+ ∠BDG
即 ∠G = ∠B+ ∠BDG － ∠GAB = ∠B+ ∠BDG － ∠GAB +∠BDG － ∠BDG
也就是∠G = ∠B+ 2∠BDG － （∠BDG + ∠GAB ） ④
将① 与 ③代入 ④式有 ∠G = 140°－ 70 °= 70 °

Answer 2

（2）70