Question

一道高中数学选择题

已知不等式1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/2n>a对一切大于1的自然数n都成立，则a的取值范围是？答案是（-∞，7/12）为什么？怎么算的？

Answer 1

设f(n)=1/(n＋1)＋1/(n＋2)＋…＋1/(2n)【注意：这里是n个加数的和】，则本题就是：
a<f(n)恒成立，则a小于f(n)的最小值即可，下面研究下f(n)的单调性【为了求f(n)的最小值】：
f(n＋1)－f(n)=[1/(2n＋1)＋1/(2n＋2)]－1/(n＋1)=1/(2n＋1)－1/(2n＋2)=1/[(2n＋1)(2n＋2)]>0
则f(n)的递增的，则f(n)的最小值是f(2)=1/3＋1/4=7/12
则：a<7/12

Answer 2

f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/2n 单调递增
最小值就是n=2时的值7/12

Answer 3

不等式左边是单增的，可以用数学归纳法证明一下，所以左边最小值是n为2时取得的，即为7/12,要使等式成立，左边的最小值要大于a，所以a<7/12