Question

已知函数f（x）＝ln（ex）-kx 求f（x）的单调区间 （2） ∀x∈（0，+∞），都有f(x

已知函数f（x）＝ln（ex）-kx
求f（x）的单调区间
（2） ∀x∈（0，+∞），都有f(x)≤0，求实数k的范围

Answer 1

解：
(1) f(x)的定义域(0，+∞)
f'(x)=[ln(ex)]'-(kx)'=1/x-k
分三种情况。
k>0时，
f'(x)= 1/x-k≥0，解得， 0<x≤1/k
f'(x)= 1/x-k<0，解得， x>1/k

k=0时，
f'(x)=1/x≥0，解得， 0<x<+∞
f'(x)=1/x<0，解得， Φ

k<0时，
f'(x)=1/x-k≥0，解得， 0<x<+∞
f'(x)=1/x-k<0，解得， Φ

k=0和k<0的情况可以合并。
综上，
k>0时， f(x)在(0，1/k]上单调递增，在(1/k,+∞)上单调递减。
k≤0时， f(x)在(0，+∞)上单调递增

(2) 由(1)的结论可得到
k>0时，f(x)在x=1/k时有最大值ln(e/k)-1
欲使得 ∀x∈（0，+∞），都有f(x)≤0，
必须有，ln(e/k)-1≤0
所以，e/k≤e
所以，k≥1

Answer 2

1、f'(x)=(1/x)-k>=0 定义域x>0
1/x>=k x<=1/k
当k>0, (0,1/k] 单调增，（1/k,+∞）单调减
k<=0 ,(0,+∞）单调增
2 由1知道，存在最大值小于等于0
k>0, f(1/k)=ln(e/k)-1<=0
1/k<=1 k>=1

追问

确定对？

追答

肯定对