Question

已知P(x,y)是圆C：x^2+（y-4）^2=1外一点，过P作圆C的切线，切点为A,B，记：四边形PACB面积为f(P)

求：（2）当P（x,y）在直线3x+4y-6=0上运动时，求f(P)的最小值
（3）当P在圆（x+4）^2+（y-1）^2=4上运动时，指出f(P)的取值范围
（4）当P在椭圆(x^2)/4+y^2=1上运动时f(P)=5是否成立？若能，求出P点坐标，若不能，说明理由。

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Answer 1

（1）四边形PACB面积为f(P)是三角形PAC的2倍，点P到切点的距离=√[x²+(y-4)²-1]，f(P)=2√[x²+(y-4)²-1]/2=√[x²+(y-4)²-1]；
（2）当P（x,y）在直线3x+4y-6=0上，x=(6-4y)/3，则f(P)=√[(6-4y)²/9+(y-4)²-1]=√[25(y-12/5)²+27]/3，当y=12/5时f(P)有最小值√3；
（3）当P在圆(x+4)²+(y-1)²=4上运动时，f(P)大小与动点P与圆C：x²+(y-4)²=1的距离成正比，动P点与圆C的最近最远点在两圆心连线上，直线方程为：y=3x/4+4，与圆(x+4)²+(y-1)²=4的交点(-12/5,11/5)，(-28/5,-1/5)，f(P)=√[x²+(y-4)²-1]=2√2，f(P)=4√3，f(P)的取值范围[2√2,4√3]；
（4）当P在椭圆x²/4+y²=1上，x²=4-4y²代入f(P)=√[x²+(y-4)²-1]=√[73/3-3(y+4/3)²]，当y=-4/3时，有最大值√219/3，√219/3＜5，f(P)=5不成立。