Question

已知函数f(x)=根号下(a-x)+根号下x,对定义域内任意x1,x2,满足|f(x1)-f(x2)|<1,则正整数a的取值个数

虽然有人问过，但看不懂额

Answer 1

定义域为：a-x>=0, x>=0, 即0=<x<=a
对定义域内任意x1,x2,满足|f(x1)-f(x2)|<1, 即表明f(x)的最大值与最小值的差小于1.(也就是值域区间的长度小于1）
现求其最大最小值即可
f(x)=√(a-x)+√x>=0
[f(x)]^2=a+2√[x(a-x)]>=a, f(x)当x=0 或a时取最小值√a
又x(a-x)<=[(x+a-x)/2]^2=a^2/4， 当x=a-x即x=a/2时取等号
即f(x)^2<=a+a=2a, f(x)<=√2 a, 当x=a/2时取最大值√2a
这样(√2-1)a<1
a<1/(√2-1)=1+√2
因此只能取a=1 或 2
共2个正整数。