Question

已知a，b，c满足a+b+c=1，a²+b²+c²=3，则abc的最大值为？

Answer 1

∵a＋b＋c＝1，∴a^2＋b^2＋c^2＋2（ab＋ac＋bc）＝1，又a^2＋b^2＋c^2＝3，
∴2（ab＋ac＋bc）＝1－3＝－2，∴ab＝－1－ac－bc＝－1－c（a＋b）。
由a＋b＋c＝1，得：a＋b＝1－c，∴ab＝－1－c（1－c）＝－1－c＋c^2。
由韦达定理可知：a、b是方程x^2＋（c－1）x－（1＋c－c^2）＝0的根，又a、b是实数，
∴（c－1）^2＋4（1＋c－c^2）≧0，∴c^2－2c＋1＋4＋4c－4c^2≧0，
∴3c^2－2c－5≦0，∴（3c－5）（c＋1）≦0，∴－1≦c≦5/3。

由ab＝－1－c＋c^2，得：abc＝－c－c^2＋c^3。
令y＝abc＝－c－c^2＋c^3。则：y′＝－1－2c＋3c^2。
令y′＝－1－2c＋3c^2＝0，得：（3c＋1）（c－1）＝0，∴c＝－1/3，或c＝1。
∴当c＜－1/3，或c＞1时，y′＞0；当－1/3＜c＜1时，y′＜0。
∴y在区间［－1，－1/3）和（1，5/3］单调递增，在区间（－1/3，1）单调递减。
∴y只能在c＝－1/3，或c＝5/3 时取得最大值。

当c＝－1/3 时，y＝－（－1/3）－（－1/3）^2＋（－1/3）^3＝9/27－3/27－1/27＝5/27。
当c＝5/3 时，y＝－5/3－（5/3）^2＋（5/3）^3＝－45/27－15/27＋125/27＝65/27。
∴y的最大值为 65/27，即：abc的最大值是 65/27。

Answer 2

x+y=1-z x^2+y^2+z^2=3 x+y+z=1平方作差得xy+xz+yz=-1
即xy+z(x+y)=-1
代入xy+z(1-z)=-1 xy=-1-z(1-z) x+y=1-z
看成方程判别式》=0 -1《=z《=5/3
xyz=z*(-1-z(1-z)=z^3-z^2-z
学过导数的话就好了求导，判断增减-1《=z《=-1/3增 -1/3《z《1减1《=z《=5/3增
最后求得5/27
这是我以前做的把字母一换即可