Question

已知a>b>0>c，a+b+c=0，求（a²+b²）/（c²-b²）的最小值？

Answer 1

c²=(a+b)²代入

(a²+b²)/[(a+b)²-b²]

=(a²+b²)/(a²+2ab)（1）

因为a²+kb²≥2√kab，k>0，

所以a²+2ab≤a²+(a²+kb²)/√k=(1+1/√k)a²+√kb²

令1+1/√k=√k，则k-√k-1=0，解得√k=(1+√5)/2，k=(3+√5)/2

所以(1)式≥(a²+b²)/[(1+√5)/2*(a²+b²)]=（√5-1）/2，取等条件略。

Answer 2

设a=kb，则k>1
设m=（a²+b²）/（c²-b²），则m>0
m=（a²+b²）/（c²-b²）=（k²b²+b²）/(k²b²+2kb²+b²-b²)=（k²+1）/(k²+2k)
k²+1=m(k²+2k)
(m-1)k+2mk-1=0,方程有解，则
（2m）²-4(m-1)（-1）≥0
m²+m-1≥0，又m>0
m≥(√5-1)/2
当m=(√5-1)/2时，k=(√5+1)/2，符合要求

Answer 3

a>b>0>c，a+b+c=0， c = -(a+b)
(a²+b²)/(c²-b²) = (a²+b²)/[a(a+2b)]
> 2ab/[a(a+2b)] = 2b/(a+2b) > 2b/(b+2b) = 2/3
最小值是 （2/3)+