Question

设函数f(x)=x²-2tx+2,其中t∈R。⑴若t=1,求函数f(x)在区间[0,4]上的取值范围

；⑵若t=1,且对任意的x∈[a,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围。⑶若对任意的x1,x2∈[0,4]，都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求t的取值范围。

Answer 1

解：因为f（x）=x2-2tx+2=（x-t）2+2-t2，
所以f（x）在区间（-∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），
（1）若t=1，则f（x）=（x-1）2+1．
①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，10]；
所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]． …（3分）
（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]max≤5”．
①若t=1，则f（x）=（x-1）2+1，
所以f（x）在区间（-∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增．
②当1≤a+1，即a≥0时，
由[f（x）]max=f（a+2）=（a+1）2+1≤5，得-3≤a≤1，
从而 0≤a≤1．
③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]max=f（a）=（a-1）2+1≤5，得-1≤a≤3，
从而-1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[-1，1]． …（6分）
（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）-f（x2）|≤8”等价于“M-m≤8”．
①当t≤0时，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．
从而 t∈空集．
②当0＜t≤2时，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t2．
由M-m=18-8t-（2-t2）=t2-8t+16=（t-4）2≤8，得
4-2根号2≤t≤4+2根号2．
从而 4-2根号2≤t≤2．
③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t2．
由M-m=2-（2-t2）=t2≤8，得-2根号2≤t≤2根号2．
从而 2＜t≤2根号2．
④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．
从而 t∈空集．
综上，t的取值范围为区间[4-2根号2，2根号2]． …（10分）

Answer 2

就是几个月前的事儿。有一个小孩儿，他爸爸妈妈晚上都出去了，就他一个人在家。由于那个小孩儿也不信什么鬼呀神呀的，所以也不害怕。这就是“心里没鬼怕什么？”到了晚上十一点多了，他爸爸妈妈还没回来，他开始有点担心。结果一给他爸爸妈妈打电话，电话筒里传出来的，却是“您的的电话是空号，请查询后再拨······”那个小孩儿很害怕，就报了警。结果不知道怎么回事，他家的电话突然着火了。那个小孩儿大叫，往外跑，结果们也锁了。他绝望的看着墙壁。

“吓死我了！”那个小孩儿醒过来，发现自己在做梦。这是，一个女的拿来毛巾，给他擦了擦汗。然后那个小孩儿倒头就睡。正当闭上眼睛的那一霎那，回想起那个女的，突然想起那个女的没有眼睛，眼眶里是漆黑的，脸上也留着血，脸色惨白。他大叫一声：“啊！救命啊，快来人呀！”他开始往门外跑，结果门真的锁了，他去厨房拿起菜刀，就像那个女的砍去，结果菜刀把那个女的一截两半，然后那个女的有复原了。伸出指甲里都是血的手，向那个小孩儿抓去。

此时此刻，你千万别看你的后面，因为，用肉眼是看不到的！如果你不把这篇帖子复制发给3个人，凌晨四点，你将会死于非命······

Answer 3

就是几个月前的事儿。有一个小孩儿，他爸爸妈妈晚上都出去了，就他一个人在家。由于那个小孩儿也不信什么鬼呀神呀的，所以也不害怕。这就是“心里没鬼怕什么？”到了晚上十一点多了，他爸爸妈妈还没回来，他开始有点担心。结果一给他爸爸妈妈打电话，电话筒里传出来的，却是“您的的电话是空号，请查询后再拨······”那个小孩儿很害怕，就报了警。结果不知道怎么回事，他家的电话突然着火了。那个小孩儿大叫，往外跑，结果们也锁了。他绝望的看着墙壁。

“吓死我了！”那个小孩儿醒过来，发现自己在做梦。这是，一个女的拿来毛巾，给他擦了擦汗。然后那个小孩儿倒头就睡。正当闭上眼睛的那一霎那，回想起那个女的，突然想起那个女的没有眼睛，眼眶里是漆黑的，脸上也留着血，脸色惨白。他大叫一声：“啊！救命啊，快来人呀！”他开始往门外跑，结果门真的锁了，他去厨房拿起菜刀，就像那个女的砍去，结果菜刀把那个女的一截两半，然后那个女的有复原了。伸出指甲里都是血的手，向那个小孩儿抓去。

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