Question

已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。

已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。

Answer 1

首先，a≠0，否则f(x)是二次函数，在R上不是单调减函数。
f(x)一定是三次函数。
f ' (x)=3ax²+6x-1
∵f(x)在R上是减函数,
∴f'(x)≤0恒成立。
∴（1）a＜0
（2）△=6²-4×3a×(-1)=36+12a≤0
综上 a≤-3

追问

为什么是△小于0而且a＜0,△＜0不是代表无解么?

追答

恩。单调递减要求导函数在R上小于等于零恒成立。这个是导数的性质。
原函数的导函数是一个二次函数，所以要求开口向下而且最多只可以有一个零点。
所以 △<=0而且a＜0

Answer 2

f'(x)=3ax^2+6x-1<=0
依题意,需a<0, 且delta=6^2+12a<=0,
解得:a<=-3

追问

为什么是△小于0而且a＜0,△＜0不是代表无解么?

追答

无解表明与X轴无交点,
而曲线开口向下,无交点就表明其值都小于0