Question

如图所示，已知AC平行于BD，EA，EB分别平分角CAB和角DBA,CD过E点。 求证：AB=AC+BD。

如图所示，已知AC平行于BD，EA，EB分别平分角CAB和角DBA,CD过E点。
求证：AB=AC+BD。 （多解）

Answer 1

方法一：
过E作EF∥CA交AB于F。
∵AC∥FE，∴∠CAE＝∠AEF，又∠CAE＝∠FAE，∴∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF。
∵AC∥FE、AC∥BD，∴FE∥BD，∴∠BEF＝∠DBE，又∠DBE＝∠FBE，
∴∠FBE＝∠BEF，∴BF＝EF。
由AF＝EF、BF＝EF，得：AF＝BF，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝（AC＋BD）/2。
由AF＝EF、BF＝EF，得：AF＋BF＝2EF，∴AB＝2EF。
由AB＝2EF、EF＝（AC＋BD）/2，得：AB＝AC＋BD。

方法二：
延长BE交AC的延长线于G。
∵AG∥BD，∴∠AGB＝∠DBG，又∠ABG＝∠DBG，∴∠ABG＝∠AGB，∴AB＝AG。
∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠DBA＝180°，又∠BAE＝∠CAB/2、∠ABE＝∠DBA/2，
∴∠BAE＋∠ABE＝（∠CAB＋∠DBA）/2＝180°/2＝90°，∴AE⊥BG。
由AB＝AG、AE⊥BG，得：BE＝GE。
∵AG∥BD，∴△BDE∽△GAE，又BE＝GE，∴△BDE≌△GAE，∴BD＝GC。
显然有：AG＝AC＋GC，∴AG＝AC＋BD。
由AB＝AG、AG＝AC＋BD，得：AB＝AC＋BD。

Answer 2

延长BE交AC的延长线于G。
∵AG∥BD，∴∠AGB＝∠DBG，又∠ABG＝∠DBG，∴∠ABG＝∠AGB，∴AB＝AG。
∵AC∥BD，∴∠CAB＋∠DBA＝180°，又∠BAE＝∠CAB/2、∠ABE＝∠DBA/2，
∴∠BAE＋∠ABE＝（∠CAB＋∠DBA）/2＝180°/2＝90°，∴AE⊥BG。
由AB＝AG、AE⊥BG，得：BE＝GE。
∵AG∥BD，∴△BDE∽△GAE，又BE＝GE，∴△BDE≌△GAE，∴BD＝GC。
显然有：AG＝AC＋GC，∴AG＝AC＋BD。
由AB＝AG、AG＝AC＋BD，得：AB＝AC＋BD。