Question

如何判断级数的敛散性？

Answer 1

n分之一的敛散性是发散。

与调和级数比较（用比较审敛法的极限形式）。

／的极限是1。

因此这两个级数同敛散。

而调和级数发散。

所以这个级数发散。

关于发散级数求和的可和法定理

我们说可和法M是正则的，是指它对每个收敛级数求的和，均与其原本柯西意义下的和一致。这类结果被称为M的阿贝尔型定理，它以阿贝尔定理为原型。更有趣，并且通常也更微妙的是这个结果的部分逆，被称为陶伯型定理，它以陶伯证明的一个定理为原型。

这里所谓的部分逆，准确的说是若M可和级数Σ，并且Σ满足一些附加条件，则Σ本来就是收敛的。但要是没有任何附加条件，这种结果说的便是M只可和收敛级数（这使其作为发散级数的可和法而言是无用的）。

收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩－巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用，因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。