Question

若定义在R上的增函数f(x)对任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立

（1）求f（0）的值（2）若f（4）=5，不等式f（cos^2x+asinx-2）＜3对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)令x1=x2=0得f(0)=f(0)+f(0)-1 ，故f(0)=1
(2) 由恒等式知f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1
因f(4)=5，所以f(2)+f(2)-1=5 解得f(2)=3
所以不等式可化为f（cos²x+asinx-2）＜f(2)
因为是增函数，故有cos²x+asinx-2<2 即1-sin²x+asinx-2<2
整理得sin²x-asinx+3>0对任意的x∈R恒成立
令sinx=t∈[-1，1] 转化为g(t)=t²-at+3>0在t∈[-1，1]恒成立
只需g(t)的最小值>0
g(t)=(t-a/2)²+3-a²/4 抛物线开口向上，对称轴t=a/2
则分如下三种情况讨论
(1)-1≤a/2≤1即-2≤a≤2时，最小值为g(a/2)=3-a²/4>0即a²<12
所以-2≤a≤2均适合题意
(2)a/2<-1即a<-2时，最小值为g(-1)=4+a>0得a>-4
所以-4<a<-2
(3)a/2>1即a>2时，最小值为g(1)=4-a>0得a<4
所以2<a<4
以上三种取并集得所求范围是-4<a<4