Question

设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数

Answer 1

先申明下，楼上答案有误，我提供更准确答案： 定义域要求:x-1>0, 3-x>0, a-x>0
即1<x<3, x<a.
易知：a>1，方程转换为：x^2-5x+3+a=0，记f(x)=x^2-5x+3+a，转求f(x)的零点个数。
下面对满足方程有意义的a的范围对跟的影响进行讨论：
1、当1<a<=3时，方程只可能在（1，a）内有解，有delta=25-12-4a=13-4a>0，且f(1)=a-1>0
f(a)=a^2-4a+3=(a-3)(a-1)<=0。 因此在(1,a) 只有一根；（对a=3时，可单独说明，方程只有一根为2）
2、当3<a<=13/4时，由delta=25-12-4a=13-4aa=13/40，且f(1)=a-1>0，f(3)=a-3>0，对称轴为x=5/2，则两根必属于（1，3），即方程有两个不等的实数根；
3、当a=13/4时，delta=25-12-4a=13-4a=0，此时得x1=x2=5/2属于（1，3）符合题意，即方程有两个相等的实数根；
4、当a>13/4时，delta=25-12-4a=13-4a<0，显然无实数根。
综上所述：当1<a<=3时，因此在(1,a) 只有一根；当3<a<=13/4时，方程有两个不等的实数根；当a=13/4时，方程有两个相等的实数根；当a>13/4时，方程无实数根。
备注：还可以利用分离常数，用数形结合的方法求解。

Answer 2

定义域要求:x-1>0, 3-x>0, a-x>0
即1<x<3, x<a
因此只有当1<a<3时才可能有解,此时1<x<a
方程化为:(x-1)(3-x)=a-x
即f(x)=x^2-5x+3+a=0
delta=25-12-4a=13-4a>0,所以此方程有两个根,
现判断这两根所在的区间是否满足:1<x<a
f(1)=a-1>0
f(a)=a^2-4a+3=(a-3)(a-1)<0
因此在(1,a) 只有一根.
综上:
当1<a<3时有1个根,其它情况无实根.