Question

当X->0时,sinX/X 的极限为1,为什么

怎么证明
一定要用洛必达法则 么
如果用可以解释下么?

Answer 1

中学课本上是这样证明的

首先根据图像结合面积得到sinx<x<tgx(0<x<pi/2)

然后得到1<x/sinx<1/cosx
利用夹逼性和lim(x->0)cosx=1得到结论

夹逼性和lim(x->0)cosx=1都是没有任何问题的.
错就错在sinx<x<tgx用面积来证明上,有人说也可以用导数来证明
f(x)=sinx-x,f'(x)=cosx-1<0(0<x<pi/2),又f(0)=0,根据积分的性质可以得出结论(或者直接用洛尔定理).tgx>x(0<x<pi/2)方法类似.

实际上这个问题的一个简单的严格证法要从复变函数谈起

这样
首先考虑解析函数e^z的级数定义
e^z=1+z+z^2/2!+...+z^n/n!+..
然后定义
sinz=(e^iz-e^(-iz))/2i
cosz=(e^iz+e^(-iz))/2
接着定义
tgz=sinz/cosz
这样就可以去根据不等式和级数的一些性质来证明了

我来说说为什么前面提到的方法都是错误的
比如说求导法
令f(x)=x-sinx(这里先不说sinx,cosx是不是良好定义的)
f'(x)=1+cosx>0(0<x<pai/2)
而f(0)=0所以由f(x)的连续性知f(x)>0
同样的方法可以证明另一个不等式

可能有人会说，这个证明不是很好吗？
其实不是的,因为sinx的导数为cosx这个结论的证明依赖于要证的不等式
所以这就是循环论证了,显然是错误的.
那个画图的方法有类似的问题
比如比较面积的时候，就要先定义积分，而积分的定义却也依赖于这个不等式.

Answer 2

为什么当X->0时,sinX/X 的极限为1?是一个非常专业的问题,我这里给出另外的背景材料帮你理解:它是由于弧度制的产生才使得sinX/X的极限为1,如果我们今天仍然停留在角度制而没有形成弧度制的话,这个极限就不是1,说严重一点牛顿的微积分理论甚至都不可能产生,如果产生了,也不是今天这种面貌,将变得非常复杂,由于弧度制的产生,使得角的度量与实数的度量统一起来,这才使得sinX/X 的极限为1,对于非数学专业的人士来说,这个极限这样来理解就可以了:x为实数,当X->0时sinx与x几乎一样大(即等价无穷小).