Question

第10题函数的极值点与极值

Answer 1

解：y=x^2e^(-x^2)
y'=2xe^(-x^2)+x^2xe^(-x^2)x(-2x)
=e^(-x^2)(2x-2x^3)
=2e^(-x^2)(x-x^3)
令y'=0
2e^(-x^2)(x-x^3)=0
x:R,x^2>=0,-x^2<=0
e^(-x^2)<=e^0=1
e^(-x)^2>0
e^(-x^2)属于（0，1]。
e^(-x^2)/=0。
x-x^3=0
x^3-x=0
x(x^2-1)=0
x(x+1)(x-1)=0
x1=0,x2=-1,x3=1
三个是可疑机制点
f''=2(e^(-x^2)x(-2x)(x-x^3)+e^(-x^2)x(1-3x^2))
=2e^(-x^2)(-2x(x-x^3)+1-3x^2)
=2e^(-x^2)(-2x^2+2x^4+1-3x^2)
=2e^(-x^2)(2x^4-5x^2+1）。
f''(0)=2x1x1=2>0
x=0,fmin=0。
f''是偶函数，
f''(1)=f''(-1)=2e^(-1)x(2-5+1)=2e^(-1)x(-2）=-4/e<0
x=+-1,fmax=f(+-1)=1xe^(-1)=e^(-1)=1/e。
答：f(x)的极大值位1/e,极小值位0.