Question

一个函数，仅有上界或者仅有下界，算不算有界函数？？

Answer 1

不算的。

详细介绍

表示

首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。

函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。

概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

以上内容参考：百度百科-函数

Answer 2

当然不能算是有界函数。
根据有界函数的定义，只有既有上界又有下界的函数，才有资格称为有界函数。
同样根据定义，所有有界函数，必然既有上界又有下界。
所以仅有上界或者仅有下界的函数，不能算是有界函数，只能算是无界函数。
这类题目，其实很简单，就是死死的扣住定义去做。不要去质疑定义，也不要去想什么定义不公平，不公正。不要去想什么‘凭什么仅有上界或者仅有下界的函数就不能算有界函数“这类想法。定义规定了是怎么样的，就是怎么样的。

追问

不是吧

我看证明极限存在时，用了单调有界准则，就用了证明一个数列有下界就说这个数列有界了

追答

数列和函数是有区别的。
因为数列是有起点的，起点就是第一项。
比方说，如果一个数列，单调递减。那么因为这个数列是单调递减的，所以每一项都比第一项小，因此第一项就是该数列的上界。所以只要再确认该数列还有下界。则此数列就满足既有上界，也有下界的要求。当然就是有界数列了。
同理，如果一个数列是单调递增。那么因为这个数列是单调递增的，所以每一项都比第一项大，因此第一项就是该数列的下界。所以只要再确认该数列还有上界。则此数列就满足既有上界，也有下界的要求。当然就是有界数列了。
所以对于单调数列，其第一项已经必然是一个界（上界或下界）了，所以只需要再确认另一个界存在即可。
但是很多函数是没有起点的，不少函数的定义域都可以延续到正负无穷大，所以必须上下界都确认清楚。

所以对于单调数列而言，并不是只要求一个界，而是其中一个界必然存在，所以只需要确认另一个界，就能满足既有上界，也有下界的要求了。

追问

奥明白了谢谢

Answer 3

算

追问

这也算？？