Question

数列求和。如下

an=(n+2)/[n!+(n+1)!+(n+2)!],sn=___
an=三次根号(n²+2n+1)+三次根号(n²-1)+三次根号(n²-2n+1),1/a1+1/a2+...+1/an=___

Answer 1

引理：2cot(2x) = cot x - tan x.
由倍角公式:cot(2x) = cos(2x)/sin(2x)=(cos² x-sin² x)/(2sin x*cos x)=(cot x-tan x)/2
——上下同除以sin x*cos x
故 2cot(2x) = cot x - tan x , 也即tan x = cot x - 2cot 2x .
引理证毕.

下证原题:
由数学归纳法：
1.i=0时,由引理
S0=a0=tan a =cot a - 2cot 2a , 成立.
2.假设i=n时也成立,
由引理,令x=2^(n+1)a , 则
2^(n+1) * cot(2^(n+1)*a) - 2^(n+1) * tan(2^(n+1)*a) = 2^(n+1)(cot x - tan x) = 2^(n+2)cot 2x
于是S(n+1) = Sn + a(n+1) = cot a - 2^(n+1) * cot(2^(n+1)*a) + 2^(n+1) * tan(2^(n+1)*a)
=cot a - 2^(n+2)cot 2x = cot a - 2^(n+2)cot 2^(n+2)a ,也成立.
3.由数学归纳法知,对任意的n∈N均成立.
原命题得证.

Answer 2

利用等式tana+2cot2a＝cota，因此sn+2^(n+1)cot2^(n+1)a=tana+2tan2a+4tan4a+...+[2^ntan2^na+2^(n+1)cot2^(n+1)a]=tana+2tan2a+4tan4a+....+[2^(n-1)tan2^(n-1)a+2^ncot2^na]=...=tana+[2tan2a+4cot4a]=tana+2cot2a=cota。

追问

高人！再问俩
an=(n+2)/[n!+(n+1)!+(n+2)!],sn=___
an=三次根号(n²+2n+1)+三次根号(n²-1)+三次根号(n²-2n+1),1/a1+1/a2+...+1/an=___
谢谢

追答

第一个：an=(n+2)/[n!*(1+n+1+(n+1)(n+2)]=1/[n!*(n+2)]=(n+2-1)/(n+2)!=1/(n+1)!-1/(n+2)!。
第二个：注意an实际上就是【三次根号(n+1)】^2+【三次根号(n+1)】×【三次根号(n-1)】+【三次根号(n－1)】^2，因此对1/an的 分子分母同乘以【三次根号(n+1)－三次根号(n-1)】得1/an=【三次根号(n+1)－三次根号(n-1)】/2，然后可以计算。

Answer 3

建议用数学归纳法