Question

已知扇形的周长为C,求扇形面积的最大值

Answer 1

设扇形的半径为r，圆心角为θ
那么，弧长=rθ
所以，周长C=2r+rθ ==> θ=(C-2r)/r
扇形面积=(1/2)r²θ=(1/2)r²*[(C-2r)/r]
=(1/2)r[(C-2r)]
=-r²+(1/2)Cr
=-[r²-(1/2)Cr+(1/16)C²]+(1/16)C²
=-[r-(1/4)C]²+(1/16)C²
所以，当r=C/4时有最大值(1/16)C²

Answer 2

解：设扇形的半径为r，弧长为l，面积为s，根据题意，得
c=2r+l，s=1/2lr
∴l=c-2r
∴s=1/2(c-2r)r=-r^2+1/2cr=-(r-1/4c)^2+1/16c^2
∴当r=1/4c时，s取得最大值，且最大值为1/16c^2