Question

已知|向量a|=|向量b|=2，且a+b的夹角与a的夹角与a-b与a的夹角相等，求a与b的夹角。谢谢

Answer 1

解：（有点复杂，希望看得懂）
由题意得，(a+b)a/la+bllal=(a-b)a/la-bllal
展开,(a²+ab)/lal√(a+b)²=(a²-ab)/lal√(a-b)²
把|a|=|b|=2代入，（4+4cosθ)/2√(4+8cosθ+4)=(4-4cosθ)/2√(4-8cosθ+4)
约分，(1+cosθ)/√(2+2cosθ)=(1-cosθ)/√(2-2cosθ)
交叉相乘，(1+cosθ)√(2-2cosθ)=√(2+2cosθ)(1-cosθ)
展开，√(2-2cosθ)+cosθ√(2-2cosθ)=√(2+2cosθ)-cosθ√(2+2cosθ)
提出公因式，约分，得，cosθ=√(2+2cosθ)-√(2-2cosθ)/√(2+2cosθ)+√(2-2cosθ)
=(√(2+2cosθ)-√(2-2cosθ))²/2+2cosθ-2+2cosθ
=(1-√(1-cos²θ))/cosθ
=(1-sinθ)/cosθ
若cosθ≠0，则cos²θ=1-sinθ，解得cosθ=0，矛盾
若cosθ=0，则cosθ=(1-sinθ)/cosθ成立，则θ=π/2
综合得，a、b的夹角为90°.

Answer 2

|a+b|²=|a|²+|b|²+2ab=8+2ab，所以|a+b|=√(8+2ab)
|a-b|²=|a|²+|b|²-2ab=8-2ab，所以|a-b|=√(8-2ab)
根据题意(a+b)a/|a+b||a|=(a-b)a/|a-b||a|，
所以(2+ab)/|a+b|=(2-ab)/|a-b|
即(2+ab)√(8-2ab)=(2-ab)√(8+2ab)
所以2(ab)²-24(ab)=0，所以ab=0或ab=12
若ab=0，则<a,b>=90°
若ab=12，则|a||b|cos<a,b>=4cos<a,b>=12，cos<a,b>=3，不可能，故舍去
所以a与b的夹角为90°.