已知|向量a|=|向量b|=2,且a+b的夹角与a的夹角与a-b与a的夹角相等,求a与b的夹角。谢谢

百度网友3139b6b
2012-02-01 · TA获得超过941个赞
知道小有建树答主
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解:(有点复杂,希望看得懂)
由题意得,(a+b)a/la+bllal=(a-b)a/la-bllal
展开,(a²+ab)/lal√(a+b)²=(a²-ab)/lal√(a-b)²
把|a|=|b|=2代入,(4+4cosθ)/2√(4+8cosθ+4)=(4-4cosθ)/2√(4-8cosθ+4)
约分,(1+cosθ)/√(2+2cosθ)=(1-cosθ)/√(2-2cosθ)
交叉相乘,(1+cosθ)√(2-2cosθ)=√(2+2cosθ)(1-cosθ)
展开,√(2-2cosθ)+cosθ√(2-2cosθ)=√(2+2cosθ)-cosθ√(2+2cosθ)
提出公因式,约分,得,cosθ=√(2+2cosθ)-√(2-2cosθ)/√(2+2cosθ)+√(2-2cosθ)
=(√(2+2cosθ)-√(2-2cosθ))²/2+2cosθ-2+2cosθ
=(1-√(1-cos²θ))/cosθ
=(1-sinθ)/cosθ
若cosθ≠0,则cos²θ=1-sinθ,解得cosθ=0,矛盾
若cosθ=0,则cosθ=(1-sinθ)/cosθ成立,则θ=π/2
综合得,a、b的夹角为90°.
2010zzqczb
2012-02-01 · TA获得超过5.2万个赞
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|a+b|²=|a|²+|b|²+2ab=8+2ab,所以|a+b|=√(8+2ab)
|a-b|²=|a|²+|b|²-2ab=8-2ab,所以|a-b|=√(8-2ab)
根据题意(a+b)a/|a+b||a|=(a-b)a/|a-b||a|,
所以(2+ab)/|a+b|=(2-ab)/|a-b|
即(2+ab)√(8-2ab)=(2-ab)√(8+2ab)
所以2(ab)²-24(ab)=0,所以ab=0或ab=12
若ab=0,则<a,b>=90°
若ab=12,则|a||b|cos<a,b>=4cos<a,b>=12,cos<a,b>=3,不可能,故舍去
所以a与b的夹角为90°.
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