Question

数列{an}满足a1=0且1/(1-an+1)-1/(1-an)=1。设bn=(1-根号an+1)/根号n，证明sn<1

好像是2011大纲全国卷。。。。帮我找找答案。。谢谢

Answer 1

证明：
令cn=1/(1-an)，则c1=1/(1-a1)=1，所以：
c(n+1)-cn=1，是等差数列，即：
cn=c1+(n-1)=n，则：
an=(n-1)/n
bn=[1-√a(n+1)]/n
={1-√[n/(n+1)]} / n
=1/√n - 1/ √(n+1)
Sn=b1+...+bn=1-1/√2 +.....+ 1/√n - 1/ √(n+1)=1- 1/ √(n+1)
n为正整数，所以上式中- 1/ √(n+1)<0，即：
Sn<1

Answer 2

bn干什么用？
设{Cn=1/(1-an)}，则Cn是等差数列。
Cn=C0+(n-1)*1=1+n-1=n
an=1-1/n＝（n-1）/　n

bn=(1-根号an+1)/根号n=(1-根号((n)/(n+1)))/根号n=1/根号n -1/根号(n+1)
sn=b1+...+bn
=....
=1 -1/ 根号(n+1) <1