Question

已知椭圆E 的焦点在X轴上，长轴长为4，离心率为√3/2

已知椭圆E 的焦点在X轴上，长轴长为4，离心率为√3/2 1.求椭圆E的标准方程 2.已知点A 是直线（0,1）和直线L：Y=X+M，线段AB是椭圆E的一条弦且直线L垂直平分弦AB，求实数M的值。

Answer 1

(1)a=2，e=c/a=√3/2，所以 c=√3，b²=a²-c²=1，
椭圆的方程为：x²/4+y²=1
(2)因为A(0,1)，AB与L垂直，从而 AB的斜率k=-1，故AB的方程为：y=-x+1
代入椭圆方程，得 x²+4(-x+1)²=4，5x²-8x=0，解得x=0，或x=8/5，
将x=8/5代入y=-x+1，得y=-3/5，即B的坐标为(8/5，-3/5)
所以AB的中点为(4/5，1/5)，代入L的方程，得1/5=4/5+m，
解得 m=-3/5

Answer 2

1，椭圆的方程：x²/a²+y²/b²=1
a=4/2=2
e=c/a=√3/2
c=√3
b=√a²-c²=1
所以：x²/4+y²=1
2，AB所在的直线：y=-x+k.
经过A(0,1),代入解得k=1,所以
y=-x+1
联立椭圆方程求得B点(8/5,-3/5)
求得AB的中点C(4/5,1/5)
L过C点，所以1/5=4/5+m
m=-3/5