Question

以⊿ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即⊿ABD，⊿BCE， ⊿ACF

（1）四边形ADEF是什么四边形？试说明理由。
（2）当⊿ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ 为什么？
（3）当⊿ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？为什么？
（4）当⊿ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？为什么？

Answer 1

1、平行四边形
∵CF=CA,CE=CB
又∵∠FCE=60-∠ECA, ∠ACB=60-∠ECA
∴△EFC全等于△BAC
同理可证△BDE全等于△BAC
∴△EFC全等于△BDE
∴DE=AF, DA=EF
∴四边形ADEF是平行四边形.
2、当△ABC的顶角∠BAC=150时四边形ADEF是矩形
∵当∠BAC=150时，∠DAE=360-∠FAC-∠CAB-∠BAD=360-60-150-60=90，直角
又 ∵四边形ADEF是平行四边形.
∴一个角为直角的平行四边形是矩形.
3、当△ABC为等腰三角形且非等边三角形时四边形ADEF是菱形
∵AF=AC, AD=AB
若△ABC为等腰三角形时，则AB=AC，即有AF=AD
又 ∵四边形ADEF是平行四边形.
∴邻边相等的平行四边形.是菱形
4、当△ABC为等边三角形时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在
∵当△ABC为等边三角形时，点A与点E重合
∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在

Answer 2

不会