Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA垂直底面ABCD，AB=根号3，BC=1，PA=2，E为PD的中点。

1.求直线BE与平面ABCD所成角的正切值；
2.在侧面PAB内找一点N，使NE垂直平面PAC,并求出点N到AB和AP的距离。
（第一问只要答案，第二问要详解。）

Answer 1

1、取AD中点H，连结EH、BH，
则EH是△PAD的中位线，
EH=PA/2=1，且EH//PA，
∵PA⊥平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
则〈HBE就是BE和平面ABCD所成角，
AD=BC=1，
BH=√(AB^2+AH^2)=√13/2，
tan<EBH=EH/BH=2√13/13，
2、找出PA中点M，PB中点G，
EM和MG是△PAD和△PAB的中位线，
ME//AD。MG//AB，
∴平面EMG//平面ABCD，
E在底面投影是AD中点H，从H作HF⊥AC，交AB于F，F点就是所求N点在AB的投影，AF就是N至AP的距离，AH=1/2，AF=HA/√3=√3/6，即N至PA距离为√3/6，
所求N点在平面EMG上，
N至平面ABCD的距离为AP/2=1，也就是至AB距离为1，
∴所求N点距AB为1，距AP为√6/3。
你最好用建空间坐标系做，一目了然，
以A为原点，分别以AB、AD、AP为X、Y、Z轴。
C(√3，1，0），
D（0，1，0），
P（0，0，2），
设N（x0,0,z0),
向量EN=（x0,-1/2,1-z0)，
向量AC=(√3，1，0），
向量AP=（0，0，2），
向量EN·AC=√3x0-1/2=0,
x0=√3/6，
向量EN·AP=2-2z0=0,
z0=1,
∴N（√3/6，0，1），
N至AB距离为1，N距AP距离为√3/6。

Answer 2

澧县一中的？Q924543023