Question

若向量a=（cosx，sinx），向量b=（cosy，siny），且|k*向量a+向量b|=根号3*|向量

若向量a=（cosx，sinx），向量b=（cosy，siny），且|k*向量a+向量b|=根号3*|向量a-k*向量b|（k大于0，k属于R）
（1）用k表示向量a*向量b
（2）求向量a*向量b的最小值，并求出此时向量a与向量b的夹角

Answer 1

若向量a=(cosx，sinx)，向量b=(cosy，siny)，且|ka+b|=(√3)|a-kb|（k大于0，k属于R）
（1）用k表示a•b；（2）求a•b的最小值，并求出此时向量a与向量b的夹角θ
解：(1) ka+b=(kcosx+cosy，ksinx+siny)，a-kb=(cosx-kcosy，sinx-ksiny)
|ka+b︱=√[(kcosx+cosy)²+(ksinxsiny)²]
(√3)︱a-kb︱=(√3)√[(cosx-kcosy)²+(sinx-ksiny)²]
故卜判悄由|ka+b|=(√3)|a-kb|，并平方去根号得：
(kcosx+cosy)²+(ksinx+siny)²型渣=3[(cosx-kcosy)²+(sinx-ksiny)²]
展开，化简得：cos(x-y)=(k²+1)/4k...........(1)
∴a•b=cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=(k²+1)/4k
(2).由a•b=cos(x-y)可知a•b的最小值为-1，︱a︱=︱b︱=1；∴cosθ=a•b/[︱a︱冲空︱b︱]=-1，
∴θ=180°。

Answer 2

(1)易知|a|=1，|b|=1
由|ka+b|=√3|a-kb|，平方，得
(ka+b)²=3(a-kb)²
k²a²+2kab+b²=3a²-6kab+3b²
k²+8kab-5=0
ab=(5-k²)/(8k)
(2) ab=cosxcosy-sinxsiny=cos(x+y)，从而 ab的最小此乱值为-1，
此森御档时 cos<a，b>=ab/|a||b|=-1，向量拆此a与向量b的夹角为180°