Question

已知二次函数y=ax2+bx+c的函数图象经过点A(3,0)B(2,-3)C(0,-3)

（1）求此函数的解析式及图像的对称轴；（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个端点也随之运动。设运动时间为t秒。①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式；当t为何值时，S有最大值或最小值。

Answer 1

1）∵B、C关于函数对称轴对称，∴x=(2+0)/2=1.
∴函数与x轴的另一交点为D（1-（3-1），0）即（-1，0）
设y=a(x-3)(x+1)过B(2，-3)
则a×（-1）×3=-3， 解得a=1
∴y=(x-3)(x+1)
=x²-2x-3
=(x-1)²-4 （随便挑一个形式吧）
x=1

2）
①∵依题意得，BP∥AQ，令AB=PQ，10=1²+3²=AB²=PQ²=3²+（2-0.2t）²，解得t1=15，t2=5
∵t1=15时，四边形ABPQ为平行四边形，∴舍t1取t2=5s
（注：PQ²=3²+（2-0.2t）²是一个以PQ为斜边构造的三角形的三边关系，3为|Py|，（2-0.2t）为该三角形的短直角边）

②∵vP=vQ，当P行至C时，Q停止，而PQ始终交x=1于同一M点，M点在x=1上0~-3段的中点，
即M（1,-1.5）
设AB：y=kx+b过A（3,0）B（2,-3），
则3k+b=0
2k+b=-3 解得k=3, b=-9, ∴y=3x-9.
∵N所在的y=-1.5与AB交于N,∴-1.5=3x-9,解得x=2.5,∴N(2.5,-1.5)

S=四边形ANMQ+△MNP
=(AQ+MN)×|My|/2+MN×(3-|My|)/2
=[(3-0.1t)+1.5]×1.5/2+1.5×1.5/2
=-0.075t+4.5(0≤t≤20)
若使S最大则t取最小，∴当t=0时，S最大为4.5
若使S最小则t取最大，∴当t=20时，S最小为3