Question

如图，点P是正方形ABCD边AB上的一点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P

顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE。

1、求证：∠ADP=∠EPB；

2、求∠CBE的度数；

3、当AP/AB的值是多少时，△PFD∽△BFP?并说明理由

Answer 1

1.证明:∵∠EPB+∠APD=90°;
∠ADP+∠APD=90°.
∴∠ADP=∠EPB.(同角的余角相等)
2.解:在AD上截取AM=AP,连接PM,
则:DM=PB;∠AMP=∠APM=45°,∠DMP=135°.
∵∠ADP=∠EPB;DM=PB,DP=EP.
∴⊿BPE≌⊿MDP(SAS),∠PBE=∠DMP=135°,∠CBE=∠PBE-∠PBC=45°.
3.解:若⊿PFD∽⊿BFP,则PF/PD=BF/BP;
又∠PBF=∠A=90°;∠BPF=∠ADP.则⊿PBF∽⊿DAP,PF/PD=BF/AP;
∴BF/BP=BF/AP,则BP=AP,即当AP/AB=1/2时,△PFD∽△BFP.

Answer 2

（1）根据∠ADP与∠EPB都是∠APD的余角，根据同角的余角相等，即可求证；
（2）首先证得△PAD≌△EQP，可以证得△BEQ是等腰直角三角形，可以证得∠EBQ=45°，即可证得∠CBE=45°；
（3）这两个三角形是直角三角形，若相似，则对应边的比相等，即可求得

AP
AB
的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A=∠PBC=90°，AB=AD，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∵∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPB=90°，
∴∠ADP=∠EPB；

（2）解：过点E作EQ⊥AB交AB的延长线于点Q，则∠EQP=∠A=90°，
又∵∠ADP=∠EPB，PD=PE，
∴△PAD≌△EQP，
∴EQ=AP，AD=AB=PQ，
∴AP=EQ=BQ，
∴∠CBE=∠EBQ=45°；

（3）解：）∵△PFD∽△BFP
∴PB/BF=PD/PF

∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A
∴△DAP∽△BFP
∴PD/PF=AP/BF

∴PA=PB∴当AP/AB=1/2时，△PFD∽△BFP．