Question

设f（x）=3ax2-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．

1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；
（2）若a，b，c都为正整数，求a+b+c的最小值．

Answer 1

（1）3ax^2+2bx+c=0
判别式=4b^2+12c
=4b^2+12(b+a)
=4b^2+12ab+12a^2
=3a^2+(3a+2b)^2>=0
所以f(x)=0有实根

（2）a-b+c=0，则a=b-c
f(x)=3(b-c)x^2-2bx+c
f(1)>0，故b>2c

又c=b-a
故f(x)=3ax^2-2bx+b-a
f(1)>0，故b<2a

故2c<b<2a

abc都是正整数，所以c最小为1，b最小为3，a最小为2

故a+b+c最小为6