Question

已知点P是二面角α—l—β的两平面外的一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β,垂足为B，且PA=5，PB=3,AB=7.

试求二面角的大小

Answer 1

令平面PAB与直线 l 的交点为C。
∵PA⊥平面α，∴l⊥PA。　∵PB⊥平面β，∴l⊥PB。
由l⊥PA、l⊥PB、PA∩PB＝P，得：l⊥平面PAB，∴AC⊥l、BC⊥l，
∴∠ACB是二面角α－l－β的平面角。

∵PA平面α，∴PA⊥AC。　∵PB⊥平面β，∴PB⊥BC。
由PA⊥AC、PB⊥BC，得：A、C、B、P共圆，∴∠ACB＝180°－∠APB。
由余弦定理，有：
cos∠APB＝（PA^2＋PB^2－AB^2）/（2PA×PB）＝（25＋9－49）/（2×5×3）＝－1/2，
∴∠APB＝120°，　∴∠ACB＝180°－120°＝60°。
即：二面角α－l－β的大小为60。