Question

如图,⊙O是△ABC的外接圆,

如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF=FD．

Answer 1

证明(1)连接FO并延长交圆O于M,连接CM,CF.
FM为直径,则:∠FCM=90度;
FH为切线,则:∠MFH=90度.
则:∠CFH=∠CMF=∠CAF;
又BC平行FH,则:∠CFH=∠BCF=∠BAF.
所以,∠BAF=∠CAF(等量代换)
(2)∠FBC=∠CAF=∠BAF;∠CBD=∠ABD.
则:∠FBC+∠CBD=∠BAF+∠ABD,即∠FBD=∠FDB,得BF=FD.

Answer 2

1.在HF上F的左边加一点G
因为FH切⊙O于F 得出∠BAF=∠GFB
因为FH∥BC 所以 FH∥BC ∠FBC=∠GFB
因为∠FBC和∠FAC 在同圆内有共同的弦FC 所以∠FBC=∠FAC
最后得知∠BAF=∠FAC AF平分∠BAC
2 ∠BDA= ∠ABD+ ∠BAF ∠DBF= ∠DBE+ ∠FBC
又因为∠ABD=∠DBE ∠BAF=∠FAC =∠FBC
所以∠BDA=∠DBF
最后得到BF=FD