Question

双曲线的中心为原点O，焦点在X轴上，两条渐近线为L1，L2，经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1，L2于A，...

双曲线的中心为原点O，焦点在X轴上，两条渐近线为L1，L2，经过右焦点F垂直于L1的直线分别交L1，L2于A，B两点，已知OA，AB，OB成等差数列且BF与FA同向。求双曲线的离心率

Answer 1

设实轴长为2a,虚轴长为2b，
令角BOF=α，则tanα=b/a
△AOB中，∠AOB=2α，∠A=90°
OA，AB，OB成等差数列
故2AB=OA+OB
两边同除以OB：2sin2α=cos2α+1
tanα=sin2α/(cos2α+1)=1/2
即b/a=1/2
e=c/a=√5/2

Answer 2

三角形OAB是直角三角形，且|OA|、|AB|、|OB|成等差数列，则|OA|：|AB|：|OB|=3：4：5，则：tan∠AOB=4/3，渐近线的倾斜角是w，斜率是k(=b/a)，则：tan2w=－tan∠AOB=－4/3，[2k]/[1－k²]=－4/3，k=b/a=2，e=√5