Question

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D.

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D.
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

Answer 1

（1）解：设此抛物线的解析式为y＝ax^2＋bx＋c；由题意知，a－b＋c＝0 ① 9a＋3b＋c＝0 ② c＝－3 ③解之，得a＝1；b＝－2；c＝－3，所以此抛物线的解析式为y＝x^2－2x－3；此抛物线的对称轴x＝－[－2÷(1×2)]＝1，代入解析式得y＝－4；即顶点坐标D为（1，－4）
（2）有图知，BC＝√(OC^2＋OB^2)＝√[(－3)^2＋3^2]＝√18＝3√2；CD＝√{[－4－(－3)]^2＋1}＝√2；BD＝√[(3－1)^2＋(－4)^2]＝√20＝2√5；∴BC^2＋CD^2＝（3√2)^2＋(√2)^2＝20＝BD^2
∴△BCD是直角三角形

Answer 2

解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3．
即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得a-b-3=0①9a+3b-3=0②​
①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0，即12a=12，
解得a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
∵y=x2-2x-3
=（x2-2x+1）-4，
=（x-1）2-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4）；

（2)∵ab=3
oc=3
∴三角形boc为直角等腰三角形
∴bc=3根号2
过d点作x轴的垂线
∴df⊥bo
∵对称轴x=1
∴bf=2
fd=4
∴bd为2根号5
过c作fd的垂线
∴ce⊥fb
∵ce=1
ed=1
∴cd=根号2
∵满足勾股定理
∴△bcd为直角三角形

Answer 3

将A、B、C三点的坐标代入二次函数解析式，求得a=1 b=-2 c=-3则解析式为y=x^2-2x-3
顶点坐标横坐标 -b/2a ，(4ac-b^2)/4a D（1,-4）
存在，P（0，0） 姑且简单说明一下：过D做轴的垂线，从而推出垂足为E。则三角形BOC及三角形CED为等腰直角三角形
由图像对称轴为X=1 D（1,-4）及OC=OB=3 角BCD直角
有勾股定理分别求得边为：BC=3根号2 CD=根号2 BD=2根号5 PC=3PA =1 AC=根号10
三条对应变的比值为：根号2 故存在。