Question

线性代数基本定理证明问题

证明定理：P是任何一个数域，则Q是P的子域。
（越详细越好啦，虽然书本上有证明过程，但我水平不够，看着总觉得有点理不顺，o(╯□╰)o。。。）

Answer 1

因为P是数域, 所以P至少包含0和1
由于数域对加法封闭, 所以 1,2,3,... 都在P中
由于数域对减法封闭, 所以 -1,-2,-3,... 都在P中
所以整数集合Z都在P中.
又由于数域对除法封闭, 所以所有的分数都在P中
而有理数都可表示成分数
所以有理数都在P中
即Q是P的子域

追问

数域的定义中，P中任意两个数的和差积商仍为P中的数，其中任意两个数也可以相同，是不是指任意取一个数，自身相除，相减等情况下必定会有1和0出现，才说P中至少包含0和1？

追答

不是, 数域的定义中要求至少含0和1.
或许有的教材不这么定义.
你看看你的教材中如何定义的吧

Answer 2

因为0和1属于P，所以0-1=-1属于P，故Z=Z+并{0}并Z-属于P。又若整数a和整数b（b不为零）属于P，则a/b属于P，故所有有理数Q属于P