Question

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y 轴上的截距m（m不等于0），L交椭圆A,B两个不同点。求椭圆的方程和m的取值范围，求证直线ma，mb与x轴始终围成一个等腰三角形。

Answer 1

<1>
首先由题意可以得到两个方程
1：a=2b
2：4/a^2+1/b^2=1；
解得a=2√2 b=√2，
即椭圆的方程为x^2/8+y^2/2=1；
<2>
设直线L的方程为y=1/2x+m
联立椭圆方程化简得x^2+2mx+2m^2-4=0
因为与椭圆有两个交点，所以德塔Δ=4m^2-4(2m^2-4)>0
解得m的取值范围为（-2，2)
再除去题意中的0，得m的取值范围是（-2,0）U（0，2）；
<3>
关于直线MA与MB与X轴围成的是等腰三角形的证明，
证明：你只要证明MA与MB的斜率是互为相反数即可，
设A，B两点的坐标分别为（x1,y1)和（x2,y2)，
然后分别写出MA与MB表达式，得到两条直线的斜率ka=(y1-1)/(x1-2),kb=(y2-1)/(x2-2)，
然后将A，B分别代入椭圆方程，将两式相减（点差法）得到x1^2/8+y1^2/2=x2^2/8+y2^2/2=1，
将上式移项后用平方差公式得（x1-x2)(x1+x2)=4(y2-y1)(y1+y2）
再利用A，B在直线AB上，斜率为1/2化简
AB与OM平行得AB斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=1/2与上式联立求得：x1=-2y2.x2=-2y1;
将这个结果选择一个带入椭圆方程得x1^2/8+y1^2/2=4y2^2/8+y1^2/2=1即y1^2+y2^2=2
于是MA和MB的斜率之和ka+kb=[(y1-1)(x2-2)+(x1-2)(y2-1)]/[(x1-2)(x2-2)]=[(y1-1)(-2y1-2)+(-2y2-2)(y2-1)]/[(x1-2)(x2-2)]=-2[y1^2+y2^2-2]/[(x1-2)(x2-2)]=0
所以MA和MB的斜率ka和kb互为相反数，即MA和MB对应的倾斜角互补，也就是MAB'（B'是BM与X轴的交点）的两个底角相等
所以直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形MAB‘。证毕