Question

初三数学竞赛题【求解析求答案 谢谢！！】

已知二次函数y=x2-2mx-2m2（m≠0）的图像与X轴交于点A、B， 它的顶点在以AB为直径的圆上
1 求该二次函数解析式
2 设以AB为直径的圆与y轴交于点C、D，求弦CD的长

Answer 1

令二次函数的顶点为N 由题意可得E(m,-3m²)
因为E在以AB为直径的圆上,所以△ABE是直角三角形
过E做EF⊥AB交AB与F
令x²-2mx-2m²=0 解得x1=m-√3|m| x2=m+√3|m|
在Rt△ABC中由射影定理可得 EF²=AF*BF
所以(-3m²)²=[m-(m-√3|m|)][(m+√3|m|)-m]
解得m=±√3/3
所以y=x²-(2√3/3)x-2/3 或 y=x²+(2√3/3)x-2/3

(3)由题意可得C、D关于O点对称
因为m=±√3/3 x1=m-√3|m| x2=m+√3|m|
当m=√3/3时 A(√3/3-1,0 ) B(√3/3+1,0)
所以AO=1-√3/3 BO=1+√3/3
因为△ABC是Rt△ 所以CO²=AO*BO
所以CO²=91-√3/3)(1+√3/3)=2/3
所以CO=√6/3 那么CD=2CO=2√6/3
当m=-√3/3 同理可得 CD= 2√6/3

Answer 2

本题关键就是解出第一问
抛物线与x轴的交点为 （-√3m+m,0），（√3m+m,0） 这两点的中点横坐标是m
y=x2-2mx-2m2=(x-m)²-3m²
√3m+m-m= -3m²
m= -√3/3