Question

设总体X的分布密度函数为f(x)=3x^2(x属于[0,1]),X(i)为总体的样本次序统计量

i=1,2,3,……，n
证明X(2)/X(4)和X(4)为相互独立的随机变量

Answer 1

∵x∈r
由二次函数的性质得
f(x)的对称轴为
x=-b/2a=3/2
又a=1＞0
开口向上
则f(x)在区间(3/2,+∞)单调递增
在区间(-∞，3/2]单调递减

2.易知f(2)=-2
f(-2)=10
则函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2，
即当x=-2时，函数f(x)在区间[-2,2]上取得最大值

Answer 2

（I） μ1＝E(X)＝∫+∞ ?∞ x?1 2λ e?|x| λ dx＝0， μ2＝E(X2)＝∫+∞ ?∞ x2?1 2λ e?|x| λ dx＝2∫+∞ 0 x2?1 2λ e?x λ dx＝2λ2，所以： ? μ 2＝1 n n i＝1 X2 i ＝2? λ 2，从而可得：? λ 2＝1 2n n i＝1 X2 i ． （II） lnL(X1，X2，…，Xn，λ)＝?nln2λ?n i＝1 |Xi| λ ，由：dlnL dλ ＝?n λ +1 λ2 n i＝1 |Xi|＝0，得：? λ ＝1 n n i＝1 |Xi|． （III）因为： E(|X|)═∫+∞ ?∞ |x|?1 2λ e?|x| λ dx＝2∫+∞ 0 x?1 2λ e?x λ dx＝λ，所以：E(1 n n i＝1 |Xi|)＝1 n E(n i＝1 |Xi|)＝1 n ?nλ＝λ，因此：? λ ＝1 n n i＝1 |Xi|是λ的无偏估计量．