Question

已知数列{an}的首项a1=2/3,a(n+1)=(2an)/(an+1),

已知数列{an}的首项a1=2/3,a(n+1)=(2an)/(an+1),1证明数列{(1/an)-1}是等比数列；2求数列{n/an}的前n项和。

Answer 1

1
a(n+1)=(2an)/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/2an=(1/2)*(1+1/an)
1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)
所以｛1/an-1}为等比数列！

2
｛1/an-1}为等比数列！
首项为1/a1-1=1/2 公比为1/2
所以：1/an-1=1/2*(1/2)^(n-1)=1/2^n
1/an=1+1/2^n

bn=n/an=n*(1/an)=n*(1+1/2^n)=n+n/2^n
Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n
=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n

其中：1+2+...+n=n*(n+1)/2
S=1/2+2/2^2+..+n/2^n
S/2=1/2^2+.....+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
相减：S/2=1/2+1/2^2+......+1/2^n-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
S=2-1/2^(n-1)-n/2^n
所以：Sn=1+1/2+2+2/2^2+..+n+n/2^n
=1+2+..+n+1/2+2/2^2+...+n/2^n
=n*(n+1)/2+2-1/2^(n-1)-n/2^n

Answer 2

an+1=2an/an+1
an=2an-1/(an-1 +1)
a1=2/3 a2=4/5 a3=8/9,a4=16/17
an=2^n/(2^n+1) an+1=2^(n+1)/[2^(n+1)+1]
a'n=1/an-1 a'n=2^(-n)
a'n-1=2^(-n+1)
a'n/a'n-1=1/2

Answer 3

两边取倒数，化简得1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)从而求得1/an=(1/2)^n+1,故n/an=n/2^n+n,前部分用错位相减法，后面的即为等差数列求和，便可求出数列{n/an}的前n项和。

Answer 4

1
a(n+1)=(2an)/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/2an=(1/2)*(1+1/an)
1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)
所以｛1/an-1}为等比数列！

Answer 5

…