Question

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0， 3），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰经过x轴上的点A，B．

（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

因为 菱形ABCD
所以 AD=AB=BC
又因为 以点C为顶点的抛物线恰好经过x轴上A、B两点
所以 AC与BC关于CE对称
AC=AB=BC 三角形ABC为等边三角形，角ABC=60度，过C作CE垂直x轴于E,CE=3
BE=根号下3，AB=2根号下3
易得 OA=根号下3 所以 xC=2根号下3 ∴C(2根号3， 3)
A(根号3 ,0)，B(3根号3,0），C(2根号3， 3）

第二问：先求出解析式并配成顶点式，再设向上平移m个单位的解析式为y=a（x-h）2+k+m。这时带入点D 的坐标就能求出来了。自己做一下。

Answer 2

1)首先,因为C是顶点，A,B纵坐标都是0，假设C的坐标是（m,根号3），那么CD=AB=m,得到A(m/2,0),B(3m/2,0)
又因为AD=BC=m,所以(m^2)/4+3=m^2,解得m=2(由图得，m=-2舍去）
即C(2,根号3），A(1,0),B(3,0)
2)代入抛物线解析式得到，解析式为：
y=-√3x^2+4√3x-3√3
3)设向上平移了p个单位，那么新的解析式为y=-√3x^2+4√3x-3√3+p把D坐标代入，解得：p=4√3，就是向上平移4√3个单位
解析式为y=-√3x^2+4√3x+√3

Answer 3

（1）连接AC，在菱形ABCD中，CD∥AB，AB=BC=CD=DA，由抛物线对称性可知AC=BC．∴△ABC，△ACD都是等边三角形．可求CD=AD=ODsin60°=2，可得点C的坐标为（2，3）．
（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，3），可设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+3
由（1）可得A（1，0），把A（1，0）代入上式，解得a=-3，设平移后抛物线的解析式为y=-3（x-2）2+k，把（0，3）代入上式得K=53．即可得到平移后抛物线的解析式．解答：解：（1）连接AC，在菱形ABCD中，CD∥AB，
AB=BC=CD=DA，
由抛物线对称性可知AC=BC．（1分）
∴△ABC，△ACD都是等边三角形．
∴CD=AD=ODsin60°=2（2分）
∴点C的坐标为（2，3）．（3分）
（2）由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，3），
可设抛物线的解析式为．y=a(x-2)2+3
由（1）可得A（1，0），把A（1，0）代入上式，
解得a=-3．（5分）
设平移后抛物线的解析式为y=-3（x-2）2+k，
把（0，3）代入上式得K=53．
∴平移后抛物线的解析式为：
y=-3（x-2）2+53（7分）
即y=-3x2+43x+3．点评：抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化，由此看来，只要抓住事物本质的东西，问题就可以迎刃而解了．