Question

直线y=x+b与抛物线y=(x-1)^2交于A、B两点，A、B中点M在圆X^2+y^2=4内,求b范围

Answer 1

y=x+b带入抛物线方程得
x²-3x+1-b=0
△=9-4(1-b)>0
b>-5/4
x1+x2=3
y1+y2=3+2b
AB中点坐标(3/2,3/2+b)
点到圆心的距离小于半径
9/4+(3/2+b)²<4
(-3-√7)/2<b<(-3+√7)/2
综上
-5/4<b<(-3+√7)/2

Answer 2

y=x+b代入y=(x-1)^2，方程判别式>0解得b>-5/4
由韦达定理，M点横坐标=3/2，纵坐标3/2+b
圆方程中，令x=3/2，解得y=√7/2或y=-√7/2
-√7/2<3/2+b<√7/2 解得-(3+√7)/2<b<(√7-3)/2
综上，得-5/4<b<(√7-3)/2

Answer 3

联立直线和抛物线方程消去y
得到x+b=x^2-2x+1
变形得x^2-3x+1-b=0
得x1+x2=3
则中点M横坐标x=(x1+x2)/2=1.5
带入直线方程得y=1.5+b
由M在圆内得
1.5^2+(1.5+b)^2小于4解出b