Question

高中数学，一道导数问题：已知函数f（x）=1/3x^3+1/2ax^2+ax+1,（a不等于0）

设A(x1,f（x1）),B(x2,f（x2）)是函数f（x）的两个不同的极值点，若直线AB的斜率不小于-2，求实数a的取值范围。

Answer 1

对函数求导并且令导函数等于0，得到x^2+x+a=0 可知x1+x2=-1,x1x2=a
AB的斜率为(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)>=-2 整理得1/3(x1^2+x1x2+x2^2)+1/2(x1+x2)+a>=-2
于是1/3(x1+x2)^2-1/3x1x2+1/2(x1+x2)+a>=-2
将值代入有1/3-1/3 a-1/2+a>=-2 得 a>=-11/4

追问

求导后的式子应该是x^2+ax+a,所以你后面计算的式子都有问题吧

追答

呃，抱歉，看题目的时候把a看漏了 不过方法应该没问题吧

Answer 2

由已知得：f '(x)=x^2+ax+a
因为 A，B是函数f(x)的两给不同的极值点
所以 x^2+ax+a=0有两个不同根即x1,x2且x1+x2= -a, x1x2=a
即 a^2 -4a >0
得 a<0 或 a>4
又AB斜率为 [f(x1) -f(x2)] / (x1 -x2)=[ 1/3(x1^3 -x2^3)+1/2a(x1^2 -x2^2)+a(x1 -x2) ]/ (x1 -x2)
=1/3 [(x1+x2)^2 -x1x2]+1/2a(x1+x2)+a
=1/3[( -a)^2 -a]+1/2a( -a)+a
= (-1/6)a^2+(2/3)a

因为直线AB的斜率不小于-2
所以 (-1/6)a^2+(2/3)a >= -2
解得 -2 <= a <= 6
综上所诉 -2<=a<0 或 4<a<=6

Answer 3

斜率K=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)
=[(x2)^2+x1+x2+(x1)^2]/3 +(x2+x1)/2+a
=[(x1+x2)^2]/3+(x1+x2)/2
-x1x2/3+a
因为f'(x)=x^2+ax+a，
所以△=a^2-4a>0-----------------① ，x1+x2=-a，x1x2=a
所以K=[(-a)^2]/3-a/2-a/3+a
=(a^2)/3+a/6≥-2 ---------②
又由f'(x)图像开口方向得极大值点小于极小值点，所以K<0----③
由① ② ③得-1/2<a<0

Answer 4

见图。

追问

亲你再看一下，应该是K=1/3(x1^2+x1·x2+x2^2)+1/2(x1+x2)·a+a吧，貌似你漏乘了一个a,再加上考虑到判别式的问题和K<0的情况（因为画图知极大值点小于极小值点），我的结果是[-2,0)，你看对不对

追答

“K<0的情况（因为画图知极大值点小于极小值点）”，如果不画图又怎样判断。