Question

已知f(x)在[a,b]上连续且为非负 若∫ b（上限） a（下限） f(x) dx =0 证明在[a,b]上 f(x)=0

Answer 1

假设f(x)在[a,b]上存在一点x0使得f(x0)=a>0。那么因f(x)连续，存在δ<b-a，在[x-δ,x+δ]∩[a,b]上，f(x)>=a/2。
所以f(x)在[x-δ,x+δ]∩[a,b]上的积分不小于a*δ/2。
由于f(x)非负，f(x)在[a,b]上的积分不小于f(x)在[x-δ,x+δ]∩[a,b]上的积分。
于是f(x)在[a,b]上积分大于0，矛盾。
证毕。