Question

求两道高中数学题，步骤要详细，谢谢

1.已知抛物线y^=-x与直线y=k（x+1）相交于A,B两点，O为坐标原点 （1）求证OA垂直于OB （2）当△OAB的面积等于√10时，求k的值 2.已知直线l：x-y+3=0及圆C：x^+（y-2）^=4，令圆C在x轴同侧移动且与x轴相切 （1）圆心在何处时，圆在直线l上截得的弦最长？ （2）圆心在何处时，l与y轴的交点把弦分成1：2？

Answer 1

1.(1)假设OA=（xA,yA）,OB=(xB,yB)则
OA*OB=xAxB+yAyB=xAxB+k^2(xA+1)(xB+1)=(1+k^2)(xAxB)+k^2(xA+xB)+k^2
把直线代入抛物线中化简有
k^2x^2+(2k^2+1)x+k^2=0即x^2+(2+1/k^2)x+1=0
所以由伟达定理得
xA+xB=-(2+1/k^2)
xAxB=1
代入得（1+k^2）-k^2(2+1/k^2)+k^2=0所以OA*OB=0即有OA⊥OB
(2)AB长度为√(1+k^2)*|xA-xB|
而O到直线的距离为|k|/(√(1+k^2))
又面积为√10所以有|k||xA-xB|=2√10
得k^2(xA-xB)^2=40
k^2[(xA+xB)^2-4xAxB]=40代入化简并求解有
k^2=1/36得k=±1/6代入即得两个答案。
2.（1）最长则弦为直径即圆心在直线上，又圆与x轴相切所以y值取2，把y=2代入直线得x=-1即圆心在（-1，2）处满足；
（2）l与y轴的交点为（0，3）
直线l的参数方程改写为：x=t,y=t+3;
代入圆（x-a）^2+(y-2)^2=4中，这里a待求
得2t^2+(2-2a)t+(a^2-3)=0依题意有两根满足x1=2x2所以有
x1+x2=3(x2),x1x2=2(x2)^2所以
2（x1+x2）^2=18(x2)^2=9x1x2
由伟达定理
x1+x2=a-1,x1x2=(a^2-3)/2
代入化简得
5a^2+8a-31=0
解出a来即可得答案为（a,2）