Question

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是

Answer 1

P(x0,y0), y0=e^x0
f'(x)=e^x
P(x0,y0)处切线l 方程为
y-e^x0=e^x0(x-x0)
l 交y轴M（0，e^x0(1-x0))
过点Pl的垂线m方程为
y-e^x0=-1/e^x0(x-x0)
m交y轴N(0，e^x0+x0/e^x0)
t=[e^x0(1-x0)+e^x0+x0/e^x0]/2
=[e^x0(2-x0)+x0/e^x0]/2
t'={e^x0(1-x0)+e^x0(1-x0)/e^(2x0)}/2
=e^x0(1-x0)[1+1/e^(2x0)]
x0∈(-∞,1),t'>0,函数递增
x0∈(1,+∞),t'<0,函数递减
x0=1,t取得最大值e/2+1/(2e)=(e^2+1)/(2e)

Answer 2

解：设切点坐标为（m，em）
∴该图象在点P处的切线l的方程为y-em=em（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）em
过点P作l的垂线的切线方程为y-em=-e-m（x-m）
令x=0，解得y=em+me-m
∴线段MN的中点的纵坐标为t= 12[（2-m）em+me-m]
令t'=0解得：m=1
当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0
∴当m=1时t取最大值 12(e+e-1)
故答案为： 12(e+e-1)

Answer 3

就是当x=1
时有最大值，我悲催的算出了当x=1时有最大值，但我以为x不能为1，所以就在网上来搜答案

Answer 4

答案是[ e+e^(-1)]/2 过程随缘_good. 已经写的很详细了，很完整了。

Answer 5

在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，