Question

已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，π2）满足f′（x）cosx+f（x）...

已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，π2）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有_____． （1）2f（-π3）＜f（π4） （2）2f（-π3）＞f（-π4） （3）f（0）＜2f（-π4） （4）f（π6）＜3f（π3）

Answer 1

解：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，π2）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0
∴g（x）=f(x)cosx，g′（x）=f′(x)cosx+f(x)sinxcos2x＞0，
∴x∈[0，π2），g（x）=f(x)cosx是单调递增，且是偶函数，
∴g（-π3）=g（π3），g（-π4）=g（π4），
∵g（π4）＜g（π3），
∴f(π4)22＜f(π3)12，
即2f（π3＞f（π4），
（1）化简得出2f（-π3）=2f（π3）＜f（π4），所以（1）不正确．
（2）化简2f（-π3）＞f（-π4），得出2f（π3）＞f（π4），所以（2）正确．
又根据g（x）单调性可知：g（π4）＞g（0），∴f(π4)22＞f(0)1，
∴f（0）＜2f（π4），
∵偶函数y=f（x）
∴即f（0）＜2f（-π4），
所以（3）正确．
∵根据g（x）单调性可知g（π3）＞g（π6），∴f(π3)12＞f(π6)32，
3f（π3）＞f（π6）．
所以（4）正确．
故答案为：（2）（3）（4）