Question

怎么证明y=xcosx不是周期函数

Answer 1

证明：假设y=xcosx是周期租帆禅拦函数，
因为周期函数有f(x+t)=f(x)
xcosx=（x+t)cos(x+t)=xcosx*cost-xsinx*sint+tcosx*cost-tsinx*sint
所以cost=1
t=kπ/2
-xsinx*sint+tcosx*cost-tsinx*sint=0
-xsinx*sint-tsinx*sint=0
(x+t)sinx*sint=0
只能是sint=0
t=kπ和t=kπ/2矛盾
所以不是周期弊袭雹函数

Answer 2

假如是周期函数，那肯定有x*cos(x)=(x+T)*cos(x+T)，T为周期，T>0；
将右边展开有x*cos(x)=(x+T)*cos(x+T)=x*cos(x)*cos(T)-x*sin(x)*sin(T)+T*cos(x)*cos(T)-T*sin(x)*sin(T)，由此可见，cos(T)必须为1，且-x*sin(x)*sin(T)+T*cos(x)*cos(T)-T*sin(x)*sin(T)必须为0，这个条件只有在T=0时才能成立，由此和之前假设谈棚矛盾。含猛则
由知姿此不是周期函数。